220 - ANALYSE MATHÉMATIQUE. – Sur un emploi légitime des séries divergentes  pp. 18-25

ANALYSE MATHÉMATIQUE. – Sur un emploi légitime des séries divergentes

By Augustin-Louis Cauchy

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Les géomètres reconnaissent généralement aujourd'hui les dangers que peut offrir l'introduction des séries divergentes dans l'Analyse, et ils admottent avec raison que ces séries n'ont pas de sommes. Toutefois la série employée par Stirling, pour la détermination approximative du logarithme d'un produit dont les facteurs croissent en progression arithmétique, et d'autres séries divergentes du même genre fournissent effectivement, quand on les arrête après un certain nombre do termes, dos valeurs approchées des fonclions dont elles représentont les développements. Il était important d'examiner s'il est possible de rendre légitime l'emploi de semblables séries, et de fixer les erreurs commises en raison de cet emploi. M'étant occupé de cette question, je suis parvenu à reconnaître que, dans la série de Stirling ct dans une multitude d'autres séries du même genre, le premier des termes négligés représente précisément une limite supérieure à l' erreur commise. Cette proposition trés simple se démontre aisément à l'aide des considérations suivantes.

La propriété que je viens d'indiquer appartient évidemment à une progression géométrique, dont les divers termes, supposés réels, sont alternativement positifs et négatifs. Il est aisé d'en conclure qu'elle appartient à toute série ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une variable, et produite par le développement d'une fraction rationnelle, ou même d'une fonction transcendante, décomposable en fractions simples, dans le cas où l'équation qu'on obtient en egalant cette fonction à l'infini n'offre que des racines réelles négatives, ou des racines imaginaires dont les parties réelles s'évanouissent.

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